Постановка проблеми. Гіпотеза Рімана про корені дзета-функції є однією з важливих проблем в теорії простих чисел. Наукова громадськість вважала і вважає рішення цієї проблеми одним із пріоритетних завдань. Доведення або спростування даної гіпотези стане справжнім «проривом» в теорії простих чисел. Актуальність обраної теми випливає з того що якщо ця гіпотеза буде доведена, це призведе до прориву в області безпеки інтернету.
Мета дослідження проаналізувати результати досліджень стосовно гіпотези Рімана та основні властивості дзета-функції.
Результати дослідження
Дзета-функція Рімана може бути визначена або рядом Діріхле, або нескінченним добутком Ейлера.
Нулі дзета-функції діляться на два типи: тривіальні і нетривіальні. Дзета-функція Рімана визначена для всіх комплексних і має нулі у від’ємних парних .
Числа називаються тривіальними нулями дзета-функції і інших дійсних нулів ця функція не має.
Бернхард Ріман у своєму знаменитому мемуарі «Про число простих, не перевищуючих даної величини» пов’язав задачу дослідження розподілу простих чисел в натуральному ряді з проблемою положення нулів дзета-функції Рімана в критичній смузі.
Гіпотеза Рімана стверджує, що: всі нетривіальні нулі дзета-функції мають дійсну частину, рівну .
Ріман виявив, що кількість простих чисел, що не перевищують функція розподілу простих чисел, що позначаються виражається через розподіл так званих «нетривіальних нулів» дзета-функції.
Багато математиків намагалися довести або спростувати гіпотезу Рімана. Тисячі помилкових доведень були представлені більш ніж за одне століття.
Інший підхід доведення складається в численному обчисленні, який може спростувати гіпотезу Рімана. Наприклад на даний момент були перевірені перші нулі на критичній лінії.
Було знайдено багато тверджень, еквівалентних гіпотезі Рімана, хоча не одне з них не привело до значного прогресу в її доведенні (або спростуванні).
Висновки. Дзета-функція Рімана може бути визначена або рядом Діріхле, або нескінченним добутком Ейлера. Дзета-функція Рімана визначена для всіх комплексних і має нулі у від’ємних парних . Також ми розглянули основні властивості цієї функції. Ще було розглянуто гіпотезу Рімана, в якій кількість простих чисел, що не перевищують функція розподілу простих чисел, що позначається виражається через розподіл так званих «нетривіальних нулів» дзета-функції.
Список використаних джерел
- Воронин, С.М. Дзета-функция Римана/С.М. Воронин, А.А. Карацуба. - М. : Физматлит, 1994г. - 376с.
- Дербишир Дж. . Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
- Титчмарш, Е.К. Теория дзета-функции Римана/Е.К. Титчмарш; пер. М.А. Евграфов. - М. : Москва, 1953г. - 387с.
